Question

15．已知函数f（x）=x²-|ax-2|，x∈[-1，2]，
（Ⅰ）当a=6时，求函数f（x）的值域；
（Ⅱ）设0＜a≤4，求函数f（x）最小值g（a）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）当a=6时，分类讨论，去掉绝对值符号，即可求函数f（x）的值域；
（Ⅱ）设0＜a≤4，分类讨论，去掉绝对值符号，利用对称轴和区间之间的关系求函数f（x）最小值g（a）．

解答 解：（Ⅰ）当a=6时，$f（x）={x^2}-|6x-2|=\left\{\begin{array}{l}{x^2}+6x-2={（x+3）^2}-11，\;\;-1≤x＜\frac{1}{3}\\{x^2}-6x+2={（x-3）^2}-7，\;\;\frac{1}{3}≤x＜2\end{array}\right.$，
当$-1≤x＜\frac{1}{3}$时，$f（x）∈[-7，\frac{1}{9}]$；
当$\frac{1}{3}≤x＜2$时，$f（x）∈[-6，\frac{1}{9}]$，
函数f（x）的值域为$[-7，\frac{1}{9}]$．
（Ⅱ）$f（x）={x^2}-|ax-2|=\left\{\begin{array}{l}{x^2}+ax-2={（x+\frac{a}{2}）^2}-\frac{a^2}{4}-2，\;\;x＜\frac{2}{a}\\{x^2}-ax+2={（x-\frac{a}{2}）^2}-\frac{a^2}{4}+2，\;\;x≥\frac{2}{a}\end{array}\right.$
（1）当0＜a＜1时，$\frac{2}{a}＞2$，$-\frac{1}{2}＜-\frac{a}{2}＜0$，
此时当x∈[-1，2]时，f（x）=x²+ax-2
在$[-1，-\frac{a}{2}]$上单调递减，在$（-\frac{a}{2}，2]$上单调递增，
所以$g（a）=f（-\frac{a}{2}）=-\frac{a^2}{4}-2$；
（2）当1≤a≤2时，$\frac{2}{a}≥\frac{a}{2}$，$-1≤-\frac{a}{2}≤-\frac{1}{2}$f（x）在$[-1，-\frac{a}{2}]$上单调递减，在$（-\frac{a}{2}，2]$上单调递增，
所以$g（a）=f（-\frac{a}{2}）=-\frac{a^2}{4}-2$；
（3）当2＜a≤4时，$\frac{2}{a}＜\frac{a}{2}$，$-2≤-\frac{a}{2}＜-1$f（x）在$[-1，\frac{2}{a}]$上单调递增，在$（\frac{2}{a}，\frac{a}{2}]$上单调递减，
在$（\frac{a}{2}，2]$上单调递增，所以$g（a）=min\{f（-1），f（\frac{a}{2}）\}$，$f（-1）-f（\frac{a}{2}）=（-a-1）-（-\frac{a^2}{4}+2）=\frac{1}{4}{（a-2）^2}-4＜0$，
所以$f（-1）＜f（\frac{a}{2}）$，故g（a）=f（-1）=-a-1；
综上所述：$g（a）=\left\{\begin{array}{l}-\frac{a^2}{4}-2，\;\;0＜a≤2\\-a-1，\;\;2＜a≤4\end{array}\right.$．

点评 本题主要考查二次函数的图象和性质，要求熟练掌握对称轴和区间之间的关系．