Question

如图5所示，在三棱锥P—ABC中，PA⊥平面ABC，AB=BC=CA=3，M为AB的中点，四点P、A、M、C都在球O的球面上.

图5

（1）证明平面PAB⊥平面PCM；

（2）证明线段PC的中点为球O的球心；

（3）若球O的表面积为25π，求三棱锥P—ABC的体积.

Answer 1

(1)证明:∵AC=BC,M为AB的中点,

∴CM⊥AB.∵PA⊥平面ABC,CM平面ABC,∴PA⊥CM.

∵AB∩PA=A,AB平面PAB,PA平面PAB,∴CM⊥平面PAB.

∵CM平面PCM,∴平面PAB⊥平面PCM.

(2)证明:由(1)知CM⊥平面PAB.

∵PM平面PAB,∴CM⊥PM.

∵PA⊥平面ABC,AC平面ABC,∴PA⊥AC.

取PC的中点N,连接MN、AN.

在Rt△PAC中,点N为斜边PC的中点,∴AN=PN=NC.

在Rt△PCM中,点N为斜边PC的中点.∴MN=PN=NC.

∴PN=NC=AN=MN.∴点N是球O的球心,即线段PC的中点为球O的球心.

(注:本题答案中符号“”等价于“”)

(3)解:依题意得4π·NC²=25π,解得NC=.

∴PC=5,PA===4.

∵AB=AC=BC=3,∴△ABC的面积S_△ABC=×3²=.

∴三棱锥P—ABC的体积为V=×S_△ABC×PA=××4=3.