Question

（本小题满分14分）

如图5所示，在三棱锥中，，平面平面，于点， ，，．

（1）证明△为直角三角形；

（2）求直线与平面所成角的正弦值

 

Answer 1

【答案】

 

（1）证明1：因为平面平面，平面平面， 平面，，

所以平面．

记边上的中点为，在△中，，所以．

因为，，所以．

因为，所以△为直角三角形．

因为，，[来源:ZXXK]

所以．

连接，在△中，因为，，

所以．

因为平面，平面，所以．

在△中，因为，，

所以．

在中，因为，，，

所以．

所以为直角三角形．

证明2：因为平面平面，平面平面， 平面，，

所以平面．

记边上的中点为，在△中，因为，所以．

因为，，所以．

连接，在△中，因为，，，

所以．

在△中，因为，，，

所以，所以．

因为平面，平面，

所以．

因为，所以平面．

    因为平面，所以．

所以为直角三角形．

（2）解法1：过点作平面的垂线，垂足为，连，

则为直线与平面所成的角．

由（1）知，△的面积．

因为，所以．

由（1）知为直角三角形，，，

所以△的面积．

因为三棱锥与三棱锥的体积相等，即，

即，所以．

在△中，因为，，

所以．

因为．

所以直线与平面所成角的正弦值为．

解法2：过点作，设，

则与平面所成的角等于与平面所成的角．

由（1）知，，且，

所以平面．

因为平面，

所以平面平面．

过点作于点，连接，

则平面．

所以为直线与平面所成的角．

在△中，因为，，

所以．

因为，所以，即，所以．

由（1）知，，且，

所以．

因为，

所以直线与平面所成角的正弦值为．

解法3：延长至点，使得，连接、，

在△中，，

所以，即．

在△中，因为，，，

所以，

所以．

因为，

所以平面．

过点作于点，

因为平面，

所以．

因为，

所以平面．

所以为直线与平面所成的角．

由（1）知，，

所以．

在△中，点、分别为边、的中点，

所以．

在△中，，，，

所以，即．

因为．

所以直线与平面所成角的正弦值为．

解法4：以点为坐标原点，以，所在的直线分别为轴，轴建立如图的空间直角坐标系，

  

 则，，，．

于是，，．

设平面的法向量为，

则

即

取，则，．

所以平面的一个法向量为．

设直线与平面所成的角为，

则．

所以直线与平面所成角的正弦值为．

若第（1）、（2）问都用向量法求解，给分如下：

（1）以点为坐标原点，以，所在的直线分别为轴，轴建立如图的空间直角坐标系，

    则，，．

于是，．

因为，

所以．

所以．

所以为直角三角形．

（2）由（1）可得，．

于是，，．

设平面的法向量为，

则即

取，则，．

所以平面的一个法向量为．

设直线与平面所成的角为，

则．

所以直线与平面所成角的正弦值为．

 

【解析】略