Question

5．已知抛物线y²=4x的焦点为F，过点F的直线l与抛物线交于A、B两点．设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），O为原点，若$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=x₁x₂+2（y₁+y₂）．则直线l的方程是2x+y-2=0．

Answer 1

分析 求得抛物线y²=4x的焦点为F（1，0），设直线l的方程为y-0=k（x-1），A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），把直线l的方程代入抛物线的方程，利用韦达定理求得k值后，可得直线方程．

解答 解：抛物线y²=4x的焦点为F（1，0），设直线l的方程为 y-0=k（x-1），A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
把直线l的方程代入抛物线的方程可得 k²x²-（2k²+4）x+k²=0，
故有 x₁•x₂=1．
把直线l的方程代入抛物线的方程可得 ky²-4y-4k=0，
∴y₁•y₂=-4．y₁+y₂=$\frac{4}{k}$，
∴向量$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=x₁•x₂+y₁•y₂=x₁x₂+2（y₁+y₂）=-3，
∴k=-2，
∴直线l的方程为 y=-2（x-1），即2x+y-2=0，
故答案为：2x+y-2=0．

点评 本题主要考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，两个向量的数量积公式，属于中档题．