Question

15．如图1，平面五边形ABCDE中，△ABE是边长为2的正三角形，△BCE、△CDE均为等腰直角三角形，且∠BCE和∠CDE为直角，现将△ABE、△CDE分别沿BE、CE折起，使平面ABE⊥平面BCE，平面DCE⊥平面BCE，如图2所示．
（1）求三棱锥C-BDE的体积；
（2）问：在BE上是否存在点F，使得平面DCF⊥平面ABE？若存在，求出点F的位置；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）取CE中点M，则DM⊥平面BCE，根据平面几何知识求出△BCE面积和DM的长，代入体积公式计算；
（2）根据面面垂直的性质可知F为BE中点．

解答 解：（1）∵AB=2，△BCE、△CDE均为等腰直角三角形，∠BCE=∠CDE=90°，
∴BC=CE=$\sqrt{2}$，CD=DE=1，
取CE中点M，连结DM，则DM⊥CE，DM=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∵平面DCE⊥平面BCE，平面DCE∩平面BCE=CE，DM?平面DCE，
∴DM⊥平面BCE，
∴V_棱锥C-BDE=V_棱锥D-BCE=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×BC×CE×DM$=$\frac{\sqrt{2}}{6}$．
（2）取BE中点F，∵BC=CE，∴CF⊥BE，
∵平面ABE⊥平面BCE，平面ABE∩平面BCE=BE，CF?平面DCE，
∴CF⊥平面ABE，∵CF?平面DCF，
∴平面DCF⊥平面ABE．
∴F为BE中点．

点评 本题考查了线面垂直的性质与判定，面面垂直的性质，几何体体积计算，构造棱锥的高是关键．