Question

10．在平面直角坐标系xOy中，点A（3，0）、B（0，3），P、Q是线段AB上的两个动点，且|PQ|=$\sqrt{2}$，则$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OQ}$的取值范围为（　　）

• A． [2，6]
• B． [4，6]
• C． [4，9）
• D． [6，9）

Answer 1

分析 可先画出图形，可设$\overrightarrow{BP}=k\overrightarrow{BA}$，根据条件便可得到$\overrightarrow{AQ}=-（\frac{2}{3}-k）\overrightarrow{BA}$，且$0≤k≤\frac{2}{3}$，从而得到$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OQ}=（\overrightarrow{OB}+k\overrightarrow{BA}）•[\overrightarrow{OA}-（\frac{2}{3}-k）\overrightarrow{BA}]$，然后进行数量积的运算便可得到$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OQ}=18（k-\frac{1}{3}）^{2}+4$，这样即可求出二次函数$18（k-\frac{1}{3}）^{2}+4$在区间[0，$\frac{2}{3}$]的最大、最小值，从而得出该二次函数的值域，即得出$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OQ}$的取值范围．

解答 解：如图，

根据条件，$|AB|=3\sqrt{2}$，设$\overrightarrow{BP}$=k$\overrightarrow{BA}$；
∵$|PQ|=\sqrt{2}$；
∴$\overrightarrow{AQ}=-（1-k-\frac{\sqrt{2}}{3\sqrt{2}}）\overrightarrow{BA}$=$-（\frac{2}{3}-k）\overrightarrow{BA}$，且$0≤k≤\frac{2}{3}$；
∴$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OQ}=（\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{BP}）•（\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AQ}）$
=$（\overrightarrow{OB}+k\overrightarrow{BA}）•[\overrightarrow{OA}-（\frac{2}{3}-k）\overrightarrow{BA}]$
=$\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{OA}-（\frac{2}{3}-k）\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{BA}+k\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{OA}$$-k（\frac{2}{3}-k）{\overrightarrow{BA}}^{2}$
=$0+（\frac{2}{3}-k）•3•3\sqrt{2}•\frac{\sqrt{2}}{2}+k•3•3\sqrt{2}•\frac{\sqrt{2}}{2}$$-k•（\frac{2}{3}-k）•18$
=18k²-12k+6
=$18（k-\frac{1}{3}）^{2}+4$；
∵$0≤k≤\frac{2}{3}$；
∴$k=\frac{1}{3}$时，$18（k-\frac{1}{3}）^{2}+4$取最小值4，k=0或$\frac{2}{3}$时，$18（k-\frac{1}{3}）^{2}+4$取最大值6；
∴$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OQ}$的范围为[4，6]．
故选：B．

点评 考查向量加法的几何意义，共线向量基本定理，向量数乘的几何意义，以及向量数量积的运算及计算公式，配方法求二次函数在闭区间上的值域．