题目内容

设函数f(x)=
m
•
n
，其中向量
m
=(2cosx，1)，
n
=(cosx，   
3
sin2x)，x∈R．
（1）求f（x）的最小正周期与单调递减区间；
（2）在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，已知f（A）=2，b=1，△ABC的面积为
3
2
，求
b+c
sinB+sinC
的值．
（1）f(x)=
m
•
n
=2cos2x+
3
sin2x=
3
sin2x+cos2x+1=2sin(2x+
π
6
)+1．
∴函数f(x)的最小正周期T=
2π
2
=π．---------------（2分）
令
π
2
+2kπ≤2x+
π
6
≤
3π
2
+2kπ，k∈Z，解得
π
6
+kπ≤x≤
2π
3
+kπ．∴函数f(x)的单调递减区间是[
π
6
+kπ，
2π
3
+kπ]，k∈Z．--------------（4分）
（2）由f(A)=2，得2sin(2A+
π
6
)+1=2，即sin(2A+
π
6
)=
1
2
，在△ABC中，∵0＜A＜π，
∴
π
6
＜2A+
π
6
＜
π
6
+2π．∴2A+
π
6
=
5π
6
，解得A=
π
3
．-（6分）又∵S△ABC=
1
2
bcsinA=
1
2
×1×c×
3
2
=
3
2
，解得c=2，
∴在△ABC中，由余弦定理得：a2=b2+c2-2bccosA=3，∴a=
3
．---------8
由
b
sinB
=
c
sinC
=
a
sinA
=
3
3
2
，得b=2sinB，c=2sinC，∴
b+c
sinB+sinC
=2．--（10分）
练习册系列答案
相关题目
（1）设函数f(x)=
m•2x+m-2
2x+1
为奇函数，求m的值；
（2）已知f(x)=
a
a2-2
(ax-a-x)(a＞0且a≠1)是R上的增函数，求a的取值范围．
已知向量
m
=(sinx，-1)，
n
=(cosx，3)．
（1）设函数f(x)=(
m
+
n
)•
m
，求函数f（x）的单调递增区间；
（2）已知在锐角△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，
3
c=2asin(A+B)，对于（1）中的函数f（x），求f(B+
π
8
)的取值范围．
（2012•青岛二模）已知向量
m
=(sinx，
3
sinx)，
n
=(sinx，-cosx)，设函数f(x)=
m
•
n
．
（Ⅰ）求函数f（x）在[0，
3π
2
]上的单调递增区间；
（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，A为锐角，若f(A)+sin(2A-
π
6
)=1，b+c=7，△ABC的面积为2
3
，求边a的长．
已知向量
m
=(cosx，sinx)，
n
=(cosx，cosx)，设函数f(x)=
m
•
n

（I）求f（x）的解析式，并求最小正周期；
（II）若函数g（x）的图象是由函数f（x）的图象向右平移
π
8
个单位得到的，求g（x）的最大值及使g（x）取得最大值时x的值．
（2009•长宁区一模）已知向量
m
=（
3
sin2x-1，cosx），
n
=（1，2cosx），设函数f(x)=
m
•
n
．
（1）求函数 f（x）的最小正周期及x∈[0，
π
2
]时的最大值；
（2）把函数f（x）的图象向左平移φ（φ＞0）个单位，所得到的图象对应的函数为奇函数，求φ的最小值．

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