题目内容
13．已知椭圆$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{b^2}=1（0＜b＜2）$，左右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l交椭圆于A，B两点，若|BF2|+|AF2|的最大值为6，则b的值是$\sqrt{2}$．分析 由题意可知椭圆是焦点在x轴上的椭圆，利用椭圆定义得到|BF2|+|AF2|=8-|AB|，再由过椭圆焦点的弦中通径的长最短，可知当AB垂直于x轴时|AB|最小，把|AB|的最小值b2代入|BF2|+|AF2|=8-|AB|，由|BF2|+|AF2|的最大值等于6列式求b的值．
解答 解：由0＜b＜2可知，焦点在x轴上，
∵过F1的直线l交椭圆于A，B两点，∴|BF2|+|AF2|+|BF1|+|AF1|=2a+2a=4a=8
∴|BF2|+|AF2|=8-|AB|．
当AB垂直x轴时|AB|最小，|BF2|+|AF2|值最大，
此时|AB|=b2，∴6=8-b2，
解得b=$\sqrt{2}$，
故答案为：$\sqrt{2}$．
点评 本题考查了直线与圆锥曲线的关系，考查了椭圆的定义，解答此题的关键是明确过椭圆焦点的弦中通径的长最短，是中档题．
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