Question

5．已知数列{a_n}的各项均为正数，a₁=1，a_n+1-a_n=a_k（k∈{1，2，…，n}）
（Ⅰ）求证：a_n+1-a_n≥1；
（Ⅱ）设数列{a_n}的前n项和为S_n，求证：$\frac{1}{2}$n（n+1）≤S_n≤2ⁿ-1．

Answer 1

分析 （I）利用数列的单调性即可证明；
（Ⅱ）根据数列的单调性求得数列{a_n}的最大值及最小值，利用“累加求和”与不等式的性质即可得出．

解答 解：（Ⅰ）证明：∵a_n+1-a_n=a_k＞0（k∈{1，2，…，n}），
∴数列{a_n}是递增数列，即1＜a₂＜a₃＜…＜a_n．
又∵a_k+1-a_k=a_k≥1（k∈{1，2，…，n}），
∴a_k+1-a_k≥1（k=1，2，3，…，n-1）．
（Ⅱ）证明：∵当n=1时，2=a₂=2，
当n≥2时，数列{a_n}是递增数列，
∴a_n+1-a_n=a_n时，取最大值，即a_n+1=2a_n时，
由等比数列通项公式可知：a_n=2^n-1时，
当a_n+1-a_n=a₁时取最小值，即a_n+1-a_n=1，
由等差数列通项公式可知：a_n=n，
∴1=a₁=1，2=a₂=2，3≤a₃≤2²，4≤a₄≤2³，…n≤a_n≤2^n-1，
由上面n个式子相加，得到：1+2+3+…+n≤a₁+a₂+a₃+…+a_n≤1+2+2²+2³+…+2^n-1，
$\frac{n（n+1）}{2}$≤S_n≤$\frac{1-{2}^{n}}{1-2}$，
∴$\frac{1}{2}$n（n+1）≤S_n≤2ⁿ-1．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、递推关系的应用、“累加求和”、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．