Question

6．在平面直角坐标系xOy中，点A，B是圆x²+y²-6x+5=0上的两个动点，且满足$|AB|=2\sqrt{3}$，则$|\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}|$的最小值为4．

Answer 1

分析 本题可利用AB中点M去研究，先通过坐标关系，将$|\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}|$转化为$\overrightarrow{OM}$，用根据AB=2$\sqrt{3}$，得到M点的轨迹，由图形的几何特征，求出$\overrightarrow{OM}$模的最小值，得到本题答案．

解答 解：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB中点M（x′，y′）．
∵x′=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$，y′=$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$，
∴$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}$=（x₁+x₂，y₁+y₂）=2$\overrightarrow{OM}$，
∵圆C：x²+y²-6x+5=0，
∴（x-3）²+y²=4，圆心C（3，0），半径CA=2．
∵点A，B在圆C上，AB=2$\sqrt{3}$，
∴CA²-CM²=（$\frac{1}{2}$AB）²，
即CM=1．
点M在以C为圆心，半径r=1的圆上．
∴OM≥OC-r=3-1=2．
∴|$\overrightarrow{OM}$|≥2，∴$|\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}|$≥4，
∴$|\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}|$的最小值为4．
故答案为：4．

点评 本题考查了数形结合思想和函数方程的思想，可利用AB中点M去研究，先通过坐标关系，将本题考查了数形结合思想和函数方程的思想，可利用AB中点M去研究，先通过坐标关系，得到M点的轨迹，由图形的几何特征，求出结果．