Question

设复数z满足|z|=1，且（3+4i）z是纯虚数，求

1+i

z

．

Answer 1

考点：复数代数形式的乘除运算

专题：数系的扩充和复数

分析：利用复数的运算法则、纯虚数的定义和模的计算公式即可得出．

解答： 解：设z=a+bi，（a，b∈R）．
∵（3+4i）z=（3+4i）（a+bi）=3a-4b+（4a+3b）i是纯虚数，∴

4a+3b≠0 3a-4b=0

，
又|z|=1，∴

a2+b2

=1，
联立解得

a= 4 5 b= 3 5

或

a=- 4 5 b=- 3 5

．
∴z=

4

5

+

3

5

i或z=

-4

5

-

3

5

i．
∴

1+i

z

=±

1+i

4 5 + 3 5 i

=±

5(1+i)(4-3i)

(4+3i)(4-3i)

=±

7+i

5

．

点评：本题考查了复数的运算法则、纯虚数的定义和模的计算公式，属于基础题．