Question

已知函数f（x）=

2-x x ，x≥1 2x-1，x＜1

，g（x）=x²-2x，若关于x的方程f[g（x）]=k有四个不相等的实根，则实数k∈（　　）

• A、（

  1

  2

  ，1）
• B、（

  1

  4

  ，1）
• C、（0，1）
• D、（-1，1）

Answer 1

考点：根的存在性及根的个数判断

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：对于函数f（x）=

2-x x ，x≥1 2x-1，x＜1

，当x≥1时，f（x）单调递减且-1＜f（x）≤1；当x＜1时，f（x）单调递增且0＜f（x）＜1；从而讨论g（x）在分段函数各段上解的个数，从而求解．

解答： 解：对于函数f（x）=

2-x x ，x≥1 2x-1，x＜1

，
当x≥1时，f（x）单调递减且-1＜f（x）≤1；
当x＜1时，f（x）单调递增且0＜f（x）＜1；
故实数k一定在区间（0，1）之间，
若

2-g(x)

g(x)

=k；则可化为g（x）=x²-2x=

2

1+k

；
显然有两个不同的根，
若2^g（x）-1=k，则g（x）=x²-2x=1+log₂k；
故△=4+4+4log₂k＞0；
即k＞

1

4

；
综上所述，实数k∈(

1

4

，1)；
故选B．

点评：本题考查了分段函数与复合函数的应用，属于中档题．