Question

现有3所重点高校A，B，C可以提供自主招生机会，但由于时间等其他客观原因，每位同学只能申请其中一所学校，且申请其中任一所学校是等可能的．现某班有4位同学提出申请，求：
（1）恰有2人申请A高校的概率；
（2）4人申请的学校个数ξ的分布列和期望．

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差,离散型随机变量及其分布列

专题：概率与统计

分析：（I）试验发生包含的事件是4个人中，每一个人有3种选择，共有3⁴种结果，满足条件的事件是恰有2人申请A学校，共有

C

2 4

•22种，根据等可能事件的概率公式能求出恰有2人申请A高校的概率．
（II）由题意知ξ的可能取值是1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出4人申请的学校个数ξ的分布列和期望．

解答： 解：（I）由题意知本题是一个等可能事件的概率
试验发生包含的事件是4个人中，每一个人有3种选择，共有3⁴种结果，
满足条件的事件是恰有2人申请A学校，共有

C

2 4

•22种，
∴根据等可能事件的概率公式得到恰有2人申请A高校的概率P=

C 2 4 •22

34

=

8

27

．（6分）
（II）由题意知ξ的可能取值是1，2，3
P（ξ=1）=

3

34

=

1

27

，
P（ξ=2）=

A 2 3 C 3 4 C 1 1 + C 2 4 C 2 2 C 2 3

34

=

14

27

，
P（ξ=3）=

C 2 4 A 3 3

34

=

4

9

，
∴ξ的分布列是：

ξ	1	2	3
P	1 27	14 27	4 9

∴Eξ=1×

1

27

+2×

14

27

+3×

4

9

=

65

27

．                                             （13分）

点评：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，在历年高考中都是必考题型之一．