Question

19．若曲线 C₁：y=x²与曲线 C₂：y=ae^x（a≠0）存在公共切线，则a的取值范围为（-∞，0）∪（0，$\frac{4}{{e}^{2}}$]．

Answer 1

分析 分别求出两个函数的导函数，由两函数在切点处的导数相等，并由斜率公式，得到由此得到m=2n-2，则4n-4=aeⁿ有解．再由导数即可进一步求得a的取值．

解答 解：y=x²在点（m，m²）的切线斜率为2m，
y=ae^x在点（n，aeⁿ）的切线斜率为aeⁿ，
如果两个曲线存在公共切线，那么：2m=aeⁿ．
又由斜率公式得到，2m=$\frac{{m}^{2}-a{e}^{n}}{m-n}$，
由此得到m=2n-2，
则4n-4=aeⁿ有解．
由y=4x-4，y=ae^x的图象有交点即可．
设切点为（s，t），则ae^s=4，且t=4s-4=ae^s，
即有切点（2，4），a=$\frac{4}{{e}^{2}}$，
故a的取值范围是：a≤$\frac{4}{{e}^{2}}$且a≠0．
故答案为：（-∞，0）∪（0，$\frac{4}{{e}^{2}}$]．

点评 本题考查利用导数研究曲线上某点的切线方程，过曲线上某点处的切线的斜率，就是函数在该点处的导数值，考查转化思想和运算能力，是中档题．