Question

20．已知函数f（x）=ln（x+m）-x（m为常数）在x=0处取得极值．
（Ⅰ）求实数m的取值；
（Ⅱ）求当x∈[$-\frac{1}{2}$，+∞）时，函数g（x）=f（x）-x²的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出原函数的导函数，利用f′（0）=0求得实数m的取值；
（Ⅱ）把（Ⅰ）中求得的m值代入f（x）的解析式，可得g（x）=f（x）-x²，再利用导数求其最大值．

解答 解：（Ⅰ）f′（x）=$\frac{1}{x+m}-1$，
由题意知，f′（0）=$\frac{1}{0+m}-1=0$，解得m=1．
经检验符合题意，∴m=1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得f（x）=ln（x+1）-x，
则g（x）=f（x）-x² =ln（x+1）-x-x²（x$≥-\frac{1}{2}$）．
∴g′（x）=$\frac{1}{x+1}-1-2x=\frac{-x（2x+3）}{x+1}$．
当-$\frac{1}{2}$＜x＜0时，g′（x）＞0，g（x）单调递增；
当x＞0时，g′（x）＜0，g（x）单调递减．
∴g（x）_max=g（0）=0．

点评 本题考查利用导数研究函数的单调性和极值，考查导数的运算法则，是中档题．