Question

设函数f（x）=sin（ωx+

π

6

）+2sin²

ω

2

x（ω＞0），已知函数f（x）的图象的相邻对称轴的距离为π．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）若△ABC的内角为A，B，C所对的边分别为a，b，c（其中b＜c），且f（A）=

3

2

，△ABC面积为S=6

3

，a=2

7

，求b，c的值．

Answer 1

考点：余弦定理的应用,由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式

专题：解三角形

分析：（Ⅰ）将三角函数进行化简，即可求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）根据三角形的面积公式，以及余弦定理建立方程组即可得到结论．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=sin（ωx+

π

6

）+2sin²

ω

2

x=

3

2

sinωx-

1

2

cosωx+1=sin(ωx-

π

6

)+1，
∵函数f（x）的图象的相邻对称轴的距离为π．
∴函数f（x）的周期为2π，
∴ω=1，
即函数f（x）的解析式f(x)=sin(x-

π

6

)+1．
（Ⅱ）由f（A）=

3

2

，得sin?(A-

π

6

)+1=

3

2

，
即sin?(A-

π

6

)=

1

2

，
∴A=

π

3

，
∵△ABC面积为S=6

3

，a=2

7

，
∴

1

2

bcsinA=6

3

，即bc=24，
由余弦定理得a²=（2

7

）²=b²+c²-2bccos

π

3

=b²+c²-24，
∴b²+c²=52，
∵b＜c，
∴解得b=4，c=6．

点评：本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，利用三角函数的公式将三角函数进行化简是解决本题的关键．