Question

2．设偶函数f（x）在（0，+∞）上f'（x）＜0，且f（2）=0，则不等式$\frac{f（x）+f（-x）}{x}＞0$的解集为（　　）

• A． （-2，0）∪（2，+∞）
• B． （-2，0）∪（0，2）
• C． （-∞，-2）∪（2，+∞）
• D． （-∞，-2）∪（0，2）

Answer 1

分析 先确定函数在（0，+∞﹚上是减函数，在（-∞，0）上是增函数，再将不等式等价变形，利用函数的单调性，即可求解不等式．

解答 解：∵偶函数f（x）在（0，+∞）上f'（x）＜0，
∴函数在（0，+∞﹚上是减函数，在（-∞，0）上是增函数，
∵f（2）=0，∴f（-2）=0
不等式$\frac{f（x）+f（-x）}{x}＞0$等价于$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{f（x）＞f（2）}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x＜0}\\{f（x）＜f（-2）}\end{array}\right.$
∴0＜x＜2或x＜-2
故不等式$\frac{f（x）+f（-x）}{x}＞0$的解集为（-∞，-2）∪（0，2），
故选D．

点评 本题考查函数单调性与奇偶性的结合，考查解不等式，考查学生的计算能力，属于基础题．