Question

7．已知F为双曲线$\frac{x^2}{a^2}$-$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的右焦点，过原点的直线l与双曲线交于M，N两点，且$\overrightarrow{MF}•\overrightarrow{NF}$=0，△MNF的面积为ab．则该双曲线的离心率为$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 设M（m，n），（n＞0），利用$\overrightarrow{MF}•\overrightarrow{NF}$=0，△MNF的面积为ab，求出M的坐标，代入双曲线方程，即可得出结论．

解答 解：设M（m，n），（n＞0），则
∵$\overrightarrow{MF}•\overrightarrow{NF}$=0，△MNF的面积为ab，
∴2×$\frac{1}{2}cn$=ab，m²+n²=c²，
∴n=$\frac{ab}{c}$，m²=c²-$\frac{{a}^{2}{b}^{2}}{{c}^{2}}$，
∴$\frac{{c}^{2}-\frac{{a}^{2}{b}^{2}}{{c}^{2}}}{{a}^{2}}-\frac{\frac{{a}^{2}{b}^{2}}{{c}^{2}}}{{b}^{2}}$=1，
∴$e=\sqrt{2}$．
故答案为$\sqrt{2}$．

点评 本题考查双曲线的方程与性质，考查面积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．