Question

3．如图，点O为圆柱形木块底面的圆心，AD是底面圆的一条弦，优弧$\widehat{AED}$的长为底面圆的周长的$\frac{3}{4}$．过AD和母线AB的平面将木块剖开，得到截面ABCD，已知四边形ABCD的周长为40．
（Ⅰ）设AD=x，求⊙O的半径（用x表示）；
（Ⅱ）求这个圆柱形木块剩下部分（如图一）侧面积的最大值．（剩下部分几何体的侧面积=圆柱侧面余下部分的面积+四边形ABCD的面积）

Answer 1

分析 （I）利用△AOD为等腰直角三角形，⊙O的半径r=$\frac{\sqrt{2}}{2}$|AD|．
（Ⅱ）依题意得，四边形ABCD为矩形，可得所求几何体的侧面积S=x（20-x）+$\frac{3}{4}×2π×\frac{\sqrt{2}}{2}$x（20-x），再利用二次函数的单调性即可得出．

解答 解：（Ⅰ）∵优弧AED的长为底面周长为$\frac{3}{4}$，
∴∠AOD=90°，
∴△AOD为等腰直角三角形，
∴⊙O的半径$r=\frac{{\sqrt{2}}}{2}|AD|=\frac{{\sqrt{2}}}{2}x$．
（Ⅱ）依题意得，四边形ABCD为矩形，
∵四边形ABCD的周长为40，
∴AB=20-AD=20-x，
∴所求几何体的侧面积S=x（20-x）+$\frac{3}{4}×2π×\frac{\sqrt{2}}{2}$x（20-x）
=$（1+\frac{{3\sqrt{2}}}{4}π）x（20-x）$
$\begin{array}{l}=（1+\frac{{3\sqrt{2}}}{4}π）[-{x^2}+20x]\\=（1+\frac{{3\sqrt{2}}}{4}π）[-{（x-10）^2}+100]\end{array}$
∴当x=10时，${S_{max}}=75\sqrt{3}π+100$．）
即这个圆柱形木块剩下部分（如图一）侧面积的最大值为$75\sqrt{3}π+100$．

点评 本题考查了圆柱的侧面积及其性质、矩形的性质、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．