Question

18．AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上不同于A，B的任意一点．
（1）求证：平面PAC⊥平面PBC；
（2）若PA=4，AB=6，∠ABC=30°．
①求AC与PB所成角的正切值；
②求直线AC与平面PCB所成角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）由直径性质得AC⊥BC，由线面垂直得PA⊥BC，从而BC⊥面PAC，由此能证明平面PAC⊥平面PBC．
（2）①以A为原点，平面ABC中过A平行于BC的直线为x轴，AC为y轴，AF为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出AC与PB所成角的正切值．
②求出$\overrightarrow{AC}$和平面PBC的法向量，利用向量法能求出直线AC与平面PCB所成角的余弦值．

解答 （1）证明：∵AB是⊙O的直径，∴AC⊥BC，
又PA垂直于⊙O所在的平面，∴PA⊥BC，
∴BC⊥面PAC，又PC?面PAC，
∴BC⊥PC，∵面PAC∩面PBC=PC，BC?面PBC，∴平面PAC⊥平面PBC．
（2）①解：以A为原点，平面ABC中过A平行于BC的直线为x轴，AC为y轴，AF为z轴，建立空间直角坐标系，
由已知PA=4，AB=6，∠ABC=30°，
得A（0，0，0），C（0，3，0），P（0，0，4），B（3$\sqrt{3}$，3，0），
$\overrightarrow{AC}$=（0，3，0），$\overrightarrow{PB}$=（3$\sqrt{3}$，3，-4），
设AC与PB所成角为θ，
则cosθ=|cos＜$\overrightarrow{AC}，\overrightarrow{PB}$＞|=|$\frac{\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{PB}}{|\overrightarrow{AC}|•|\overrightarrow{PB}|}$|=|$\frac{9}{3\sqrt{52}}$|=$\frac{3}{2\sqrt{13}}$，
∴tanθ=$\frac{\sqrt{43}}{3}$．
∴AC与PB所成角的正切值为$\frac{4\sqrt{3}}{9}$．
②$\overrightarrow{AC}$=（0，3，0），$\overrightarrow{PB}$=（3$\sqrt{3}$，3，-4），$\overrightarrow{PC}=（0，3，-4）$，
设平面PBC的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PB}=3\sqrt{3}x+3y-4z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PC}=3y-4z=0}\end{array}\right.$，
取y=4，得$\overrightarrow{n}$=（0，4，3），
cos＜$\overrightarrow{AC}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{AC}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{12}{3×5}$=$\frac{4}{5}$，
设直线AC与平面PCB所成角为θ，
则cosθ=sin＜$\overrightarrow{AC}，\overrightarrow{n}$＞=$\sqrt{1-（\frac{4}{5}）^{2}}$=$\frac{3}{5}$，
∴直线AC与平面PCB所成角的余弦值为$\frac{3}{5}$．

点评 本题考查面面垂直的证明，考查线线角的正切值和线面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要注意向量法的合理运用．