Question

过抛物线y²=-8x的焦点作一条直线与抛物线相交于A，B两点，它们到直线x=1的距离之和等于8，则这样的直线（　　）

• A、有且仅有一条
• B、有且仅有两条
• C、有无穷多条
• D、不存在

Answer 1

考点：抛物线的简单性质

专题：

分析：过抛物线y²=-8x的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B两点，先看直线AB斜率不存在时，求得它们到直线x=1的距离之和等于6，不符合题意；进而设直线AB为y=k（x+2）与抛物线方程联立消去y，进而根据韦达定理表示出A、B两点的横坐标之和，进而求得k．得出结论．

解答： 解：根据抛物线方程可知2p=8，p=2，开口向左，
∴抛物线的焦点坐标为（-2，0），
当直线AB斜率不存在时，直线AB方程为x=-2，则A，B到直线x=1的距离为3+3=6，不符合题意，
设直线AB的斜率为k，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）则直线方程为y=k（x+2），带入抛物线方程得k²x²+（4k²+8）x+4k²=0
∴x₁+x₂=-

4k2+8

k2

，
而A，B到直线x=1的距离之和为-x₁+（-x₁）+2=2+

4k2+8

k2

=8，
求得k=±2，
∴这样的直线有且仅有两条，
故选B．

点评：本题主要考查了直线与抛物线的位置关系．解题的关键是利用转换和化归思想，通过方程的解来解决解析几何的问题．