Question

15．已知x，y∈R⁺，且$x+\frac{y}{2}=1$，则$\frac{1}{x}+\frac{2}{y}$的最小值为4．

Answer 1

分析 整体代入可得$\frac{1}{x}+\frac{2}{y}$=（$\frac{1}{x}+\frac{2}{y}$）（x+$\frac{y}{2}$）=2+$\frac{y}{2x}$+$\frac{2x}{y}$，由基本不等式可得．

解答 解：∵x，y∈R⁺，且$x+\frac{y}{2}=1$，
∴$\frac{1}{x}+\frac{2}{y}$=（$\frac{1}{x}+\frac{2}{y}$）（x+$\frac{y}{2}$）
=2+$\frac{y}{2x}$+$\frac{2x}{y}$≥2+2$\sqrt{\frac{y}{2x}•\frac{2x}{y}}$=4
当且仅当$\frac{y}{2x}$=$\frac{2x}{y}$即x=$\frac{1}{2}$且y=1时取等号．
故答案为：4．

点评 本题考查基本不等式求最值，整体代入是解决问题的关键，属基础题．