Question

若函数f（x）为定义在R上的奇函数，且x∈（0，+∞）时，f（x）=2^x
（1）求f（x）的表达式；
（2）若|f（m）|≤2恒成立，求m的取值范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题,函数解析式的求解及常用方法

专题：函数的性质及应用

分析：（1）直接利用函数的奇偶性，求出求f（x）的表达式；
（2）通过|f（m）|≤2恒成立，通过分段函数化简转化不等式即可求m的取值范围．

解答： 解：（1）当x∈（-∞，0）时，则-x∈（0，+∞）
所以f（-x）=2^-x=-f（x），f（x）=-2^-x
当x=0时，f（-0）=-f（0），所以f（0）=0
所以f(x)=

2x(x＞0) 0(x=0) -2-x(x＜0)

（2）由|f（m）|≤2，即-2≤f（m）≤2m＞0，
f（m）=2^m≤2，m≤1；  
m=0，f（m）=0；  
m＜0，f（m）=-2^-m≥-2，m≥-1
所以-1≤m≤1

点评：本题考查函数的恒成立，分段函数的应用，函数的解析式的求法，考查计算能力．