Question

．（本题满分12分）
如图甲，直角梯形中，，，点、分别在，上，且，，，，现将梯形沿折起，使平面与平面垂直（如图乙）．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）当的长为何值时，二面角的大小为？

Answer 1

法一：（Ⅰ）MB//NC，MB平面DNC，NC平面DNC，
MB//平面DN            C．…………………2分
同理MA//平面DNC，又MAMB="M," 且MA,MB平面MA                  B．
． （6分）
（Ⅱ）过N作NH交BC延长线于H，连HN，
平面AMND平面MNCB，DNMN,               …………………8分
DN平面MBCN，从而,
为二面角D-BC-N的平面角．      =  …………………10分               
由MB=4，BC=2，知60º，
． sin60º =       …………………11分            
由条件知：   …………………12分             
解法二：如图，以点N为坐标原点，以NM，NC，ND所在直线分别作为轴，轴和轴，建立空间直角坐标系易得NC=3，MN=，
设，则．

（I）．
，
∵，
∴与平面共面，又，．                （6分）
（II）设平面DBC的法向量，
则，令，则， 
∴．                                                     （8分）
又平面NBC的法向量．                                          （9分）
             …………………11分
即：   又即   …………………12分

略