Question

已知函数f(x)＝sinx＋e^x＋x²⁰¹⁰，令f₁(x)＝f ′(x)，f₂(x)＝f₁′(x)，f₃(x)＝f₂′(x)，…，f_n＋1(x)＝f_n′(x)，则f₂₀₁₄(x)＝(　　)

A．sinx＋e^x                                                   B．cosx＋e^x

C．－sinx＋e^x                                                D．－cosx＋e^x

Answer 1

　C

[解析]　f₁(x)＝f ′(x)＝cosx＋e^x＋2010x²⁰⁰⁹，

f₂(x)＝f₁′(x)＝－sinx＋e^x＋2010×2009x²⁰⁰⁸，

f₃(x)＝f₂′(x)＝－cosx＋e^x＋2010×2009×2008x²⁰⁰⁷，

f₄(x)＝f₃′(x)＝sinx＋e^x＋2010×2009×2008×2007x²⁰⁰⁶，

由此可以看出，该函数前2项的和成周期性变化，周期T＝4；

而f₂₀₁₄(x)＝f ′₂₀₁₃(x)，此时其最后一项的导数已变为0.

故求f₂₀₁₄(x)的值，只需研究该函数前2项和的变化规律即可，于是，f₂₀₁₄(x)＝f_(2＋4×503)(x)＝－sinx＋e^x.