Question

7．已知函数y=f（x）满足下列条件：①f（x+y）=f（x）f（y）； ②x＞0，f（x）＞1；③x∈R，f（x）＞0．
（I）求f（0）的值；
（II）证明：y=f（x）在R上是增函数；
（III）若f（2）=2，解不等式$\frac{f（x+1）}{f（1-x）}$＞4．

Answer 1

分析 （I）利用赋值法即可求f（0）的值；
（II）根据函数单调性的定义即可证明：y=f（x）在R上是增函数；
（III）若f（2）=2，将不等式不等式$\frac{f（x+1）}{f（1-x）}$＞4进行等价转化，结合函数的单调性的性质进行求解即可．

解答 解：（I）令x=0，y=1，则f（0+1）=f（0）f（1）=f（1），
∵x＞0，f（x）＞1，
∴f（1）≠0；
则f（0）=1；
（II））∵当x＞0时，f（x）＞1
∴设x₁，x₂∈R，且x₁＞x₂，
则x₁-x₂＞0，∴f（x₁-x₂）＞1，
∴f（x₁）=f[（x₁-x₂）+x₂]=f（x₁-x₂）f（x₂）＞f（x₂），
∴函数f（x）在R上是单调递增函数．
（III）若f（2）=2，则f（2+2）=f（2）f（2）=2×2=4，
即f（4）=4，
则不等式$\frac{f（x+1）}{f（1-x）}$＞4等价为$\frac{f（x+1）}{f（1-x）}$＞f（4），
∵x∈R，f（x）＞0．
∴f（1-xx）＞0．
即f（x+1）＞f（4）f（1-x），
即f（x+1）＞f（4+1-x），
∵函数f（x）在R上是单调递增函数，
∴x+1＞4+1-x，
即2x＞4，即x＞2，
即不等式的解集为（2，+∞）．

点评 本题考查的是函数的单调性证明问题．抽象函数的单调性的判定，以及赋值法的应用，在解答的过程当中充分体现了函数单调性的定义、转化法以及赋值法等知识．