Question

【题目】如图，平面平面，四边形和是全等的等腰梯形，其中，且，点为的中点，点是的中点.

（I）请在图中所给的点中找出两个点，使得这两个点所在直线与平面垂直，并给出证明；

（II）求二面角的余弦值；

（III）在线段上是否存在点，使得平面？如果存在，求出的长度，如果不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（I）见解析；（II）；（III）见解析.

【解析】试题分析： 法一：向量法，分别以边， ， 所在直线为， ， 轴，给出相应点坐标，证明， 法二：先证 接着证明所以 平面即最后证得结果(2)要求二面角的平面角的余弦值就先求得平面的法向量，利用公式即可算出结果(3)法一：借助向量假设存在，计算可得矛盾，故不存在；法二：假设存在点，证得平面平面，即有为平行四边形，所以，矛盾

解析：法一：向量法

（I）， 点为所求的点.

证明如下：

因为四边形是等腰梯形，点为的中点，点是的中点，

所以.

又平面 平面，平面 平面= ，

所以 平面

同理取的中点，则 平面.

分别以边， ， 所在直线为， ， 轴，建立如图所示的空间直角坐标系.

由，得， ， ， ，

则， ， .

所以，

又，

所以平面

（II）由（I）知平面的一个法向量为.

设平面的法向量为，则

即

令，则，

所以

所以

所以二面角的余弦值为

（III）假设存在点，使得 平面.

设

所以 ，所以

而计算可得

这与矛盾

所以在线段上不存在点，使得 平面

法二：（I）证明如下：

因为四边形是等腰梯形，点为的中点，点是的中点，

所以

又平面平面，平面平面，

所以 平面

因为 平面，所以，

又，且，

所以为菱形，所以

因为，

所以平面.

（III）假设存在点，使得平面

由，所以为平行四边形，

所以

因为平面

所以平面

又，所以平面平面，

所以平面，所以，

所以为平行四边形，所以，矛盾

所以不存在点，使得平面