题目内容
如图，四棱锥P－ABCD的底面是矩形，侧面PAD是正三角形，且侧面PAD⊥底面ABCD，E为侧棱PD的中点．
(Ⅰ)证明：PB∥平面EAC；
(Ⅱ)求证：AE⊥平面PCD；
(Ⅲ)若AD＝AB，试求二面角A－PC－D的正切值；
答案：
解析：
解析：
|
解：(Ⅰ)连结 又 (Ⅱ) 正三角形PAD中，E为PD的中点，所以， 又 (Ⅲ)在PC上取点M使得 由于正三角形PAD及矩形ABCD，且AD＝AB，所以 所以，在等腰直角三角形DPC中， 连接 所以， 在 即二面角A－PC－D的正切值为 证法二： (Ⅰ)设N为AD中点，Q为BC中点，则因为 以N为坐标原点，NA、NQ、NP所在直线分别为 (Ⅱ) 所以， 又 (Ⅲ)当 设平面PAC的法向量为 向量 所以，tanq
＝ 又由图可知，二面角A－PC－D的平面角为锐角，所以，二面角A－PC－D的平面角就是向量 |
交
于
，连结
，则
，且
，
平面
，
平面
，
，所以，AE⊥平面PCD． 8分;
．
，
，因为AE⊥平面PCD，所以，
．
为二面角A－PC－D的平面角．
中，
．
14分
PAD是正三角形，底面ABCD是矩形，所以，
，
，又因为侧面PAD⊥底面ABCD，所以，
，
．
轴建立空间直角坐标系．设
，
，则
，
，
，
，
，
．∴
，
，∴
，又
平面
平面
，∴PB∥平面EAC． 4分;
，
，
，
，
．
，
，所以，AE⊥平面PCD． 8分;
时，由(2)可知：
是平面PDC的法向量；
，则
，
，即
，取
，可得：
．所以，
．
与
所成角
的余弦值为：
．
．
与
的补角．其正切值等于
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