Question

19．已知M（-1，0），F（1，0），动点P满足$\overrightarrow{MP}•\overrightarrow{MF}=2|{\overrightarrow{FP}}|$，过F的直线交P的轨迹C于A，B两点，若AB的垂直平分线经过点Q（0，5），求直线AB的斜率．

Answer 1

分析 利用动点P满足$\overrightarrow{MP}•\overrightarrow{MF}=2|{\overrightarrow{FP}}|$，建立方程，化简，求动点P的轨迹C的方程，设AB的方程为y=k（x-1），代入y²=4x，求出AB的中点坐标，利用AB的垂直平分线经过点Q（0，5），求直线AB的斜率．

解答 解：设P（x，y），则$\overrightarrow{MP}$=（x+1，y），$\overrightarrow{FP}$=（x-1，y），$\overrightarrow{MF}$=（2，0），
∵$\overrightarrow{MP}•\overrightarrow{MF}=2|{\overrightarrow{FP}}|$，
∴2（x+1）=2$\sqrt{（x-1）^{2}+{y}^{2}}$，
∴y²=4x；
设AB的方程为y=k（x-1），代入y²=4x，可得k²x²-（2k²+4）x+k²=0，
∴AB的中点坐标为（1+$\frac{2}{{k}^{2}}$，$\frac{2}{k}$），
∵AB的垂直平分线经过点Q（0，5），
∴AB的垂直平分线的斜率为$\frac{\frac{2}{k}-5}{1+\frac{2}{{k}^{2}}}$，
∴$\frac{\frac{2}{k}-5}{1+\frac{2}{{k}^{2}}}$•k=-1，
∴k=1，即直线AB的斜率是1．

点评 本题考查轨迹方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．