已知向量$\overrightarrow m=(\sqrt{3}sin\frac{x}{4}.1).\overrightarrow n=(cos\frac{x}{4}.cos {\;}^2\frac{x}{4})．记f(x)=\overrightarrow m•\overrightarrow n$．=$\frac{3}{2}.求cos$的值,(2)在△ABC中.角A.B.C� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

13．已知向量$\overrightarrow m=（\sqrt{3}sin\frac{x}{4}，1），\overrightarrow n=（cos\frac{x}{4}，cos_{\;}^2\frac{x}{4}）．记f（x）=\overrightarrow m•\overrightarrow n$．
（1）若f（α）=$\frac{3}{2}，求cos（\frac{2π}{3}-α）$的值；
（2）在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，且满足（2a-c）cos B=bcos C，若f（A）=$\frac{{1+\sqrt{3}}}{2}$，试判断△ABC的形状．

分析（1）由已知利用平面向量数量积的运算可得函数解析式f（x）=sin（$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$，由f（α）=$\frac{3}{2}$，可得α=4kπ+$\frac{2π}{3}$，k∈Z，代入即可计算得解cos（$\frac{2π}{3}$-α）的值．
（2）利用正弦定理化简已知等式，利用三角函数恒等变换的应用可求cosB=$\frac{1}{2}$，进而可求B=$\frac{π}{3}$，由f（A）=$\frac{1+\sqrt{3}}{2}$，可求A的值，即可判定三角形形状．

解答（本题满分为12分）
解：（1）∵由已知可得：f（x）=$\sqrt{3}$sin$\frac{x}{4}$cos$\frac{x}{4}$+cos²$\frac{x}{4}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin$\frac{x}{2}$+$\frac{1}{2}$cos$\frac{x}{2}$+$\frac{1}{2}$=sin（$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$，…2分
∵f（α）=$\frac{3}{2}$，可得：sin（$\frac{α}{2}$+$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}$，
∴α=4kπ+$\frac{2π}{3}$，k∈Z，
∴cos（$\frac{2π}{3}$-α）=cos（$\frac{2π}{3}$-4kπ-$\frac{2π}{3}$）=1，…6分
（2）∵（2a-c）cosB=bcosC，
∴（2sinA-sinC）cosB=sinBcosC，…8分
∴2sinAcosB=sin（B+C）=sinA，可得：cosB=$\frac{1}{2}$，
∴B=$\frac{π}{3}$，
∵f（A）=$\frac{1+\sqrt{3}}{2}$，…10分
∴sin（$\frac{A}{2}$+$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$=$\frac{1+\sqrt{3}}{2}$，可得：$\frac{A}{2}$+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{3}$或$\frac{2π}{3}$，
∴解得：A=$\frac{π}{3}$或π，
又∵0$＜A＜\frac{2π}{3}$，
∴A=$\frac{π}{3}$，
∴△ABC为等边三角形…12分

点评本题主要考查了平面向量数量积的运算，正弦定理，三角函数恒等变换的应用在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于中档题．

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