Question

已知数列{a_n}中，a₁=

2

3

，a₂=1，3a_n=4_n-1-a_n-2（n≥3）．
（1）求a₃的值；
（2）证明：数列{a_n-a_n-1}（n≥2）是等比数列；
（3）求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

考点：数列的求和,等比数列的性质,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知条件利用递推思想能求出a₄．
（2）由已知条件推导出

an-an-1

an-1-an-2

=

1

3

，由此能证明数列{a_n-a_n-1}（n≥2）是首项为1-

2

3

=

1

3

，公比为

1

3

的等比数列．
（3）由（2）知n≥2时，a_n-a_n-1=（

1

3

）^n-1，由此利用累加法能求出数列{a_n}的通项公式．

解答： （1）解：∵数列{a_n}中，a₁=

2

3

，a₂=1，3a_n=4a_n-1-a_n-2（n≥3），
∴a₃=

4

3

a₂-

1

3

a₁=

4

3

×1-

1

3

×

2

3

=

10

9

，
a₄=

4

3

a₃-

1

3

a₂=

4

3

×

10

9

-

1

3

×

2

3

=

34

27

．
（2）证明：∵3a_n=4a_n-1-a_n-2（n≥3），
∴3（a_n-a_n-1）=a_n-1-a_n-2，
∴

an-an-1

an-1-an-2

=

1

3

，
∴数列{a_n-a_n-1}（n≥2）是首项为1-

2

3

=

1

3

，公比为

1

3

的等比数列．
（3）解：由（2）知n≥2时，
a_n-a_n-1=

1

3

•（

1

3

）^（n-1）-1=（

1

3

）^n-1，
∴a_n-a_n-1=（

1

3

）^n-1，
a_n-1-a_n-2=（

1

3

）^n-2，
a_n-2-a_n-3=（

1

3

）^n-3，
…
a₄-a₃=(

1

3

)3，
a₃-a₂=（

1

3

）²，
a₂-a₁=

1

3

，
∴a_n=a₁+（a₂-a₁）+（a₃-a₂）+…+（a_n-a_n-1）
=1+

1

3

+（

1

3

）²+（

1

3

）³+…+（

1

3

）^n-1
=

1×(1- 1 3n )

1- 1 3

=

3

2

-

1

2•3n-1

．

点评：本题考查等比数列的证明，考查数列的通项公式的求法，解题时要认真审题，注意累加法的合理运用．