Question

实数x，y满足

x+2y-4+|x+2y-4|≤6 1≤x≤5 1≤y≤3

，则u=

x2+y2

xy

的取值范围是（　　）

• A．[2，

  10

  3

  ]
• B．[2，

  26

  5

  ]
• C．[

  10

  3

  ，

  26

  5

  ]
• D．[1，

  10

  3

  ]

Answer 1

分析：本题主要考查线性规划的基本知识，先画出约束条件

x+2y-4+|x+2y-4|≤6 1≤x≤5 1≤y≤3

，的可行域，然后分析

y

x

的几何意义，结合图象，用数形结合的思想，最后利用基本不等式即可求解．

解答：解：满足约束条件

x+2y-4+|x+2y-4|≤6 1≤x≤5 1≤y≤3

，的可行域，
如下图所示：
又∵

y

x

表示的是可行域内一点与原点连线的斜率
当x=5，y=1时，

y

x

有最小值

1

5

，此时，u=

x2+y2

xy

=

y

x

+

1

y x

取得最大值

26

5

；
当x=1，y=3时，

y

x

有最大值3．
又u=

x2+y2

xy

=

y

x

+

1

y x

≥2，当且仅当

y

x

=1时取等号，
则u=

x2+y2

xy

的取值范围是[2，

26

5

]．
故选B．

点评：平面区域的最值问题是线性规划问题中一类重要题型，在解题时，关键是正确地画出平面区域，分析表达式的几何意义，然后结合数形结合的思想，分析图形，找出满足条件的点的坐标，即可求出答案．