已知椭圆$C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\;$的离心率为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$.且以坐标原点为圆心.椭圆的短半轴长为半径的圆与直线$x-y+\sqrt{2}=0$相切．(1)求椭圆C的标准方程,(2)若一条不过原点的直线l与椭圆相交于A.B两点.设直线OA.l.OB的斜率分别为k1.k.k2.且k1.k.k2恰好构成等� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网——

题目内容

1．

已知椭圆$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\;（a＞b＞0）$的离心率为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，且以坐标原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线$x-y+\sqrt{2}=0$相切．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若一条不过原点的直线l与椭圆相交于A，B两点，设直线OA，l，OB的斜率分别为k₁，k，k₂，且k₁，k，k₂恰好构成等比数列．求|OA|²+|OB|²的值．

分析（1）由椭圆的离心率为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，以坐标原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线$x-y+\sqrt{2}=0$相切，求出a，b，由此能求出椭圆C的方程．
（2）设直线l的方程为y=kx+m，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），代入椭圆方程，得（1+4k²）x²+8kmx+4m²-4=0，由此利用韦达定理、根的判别式、等比数列、椭圆性质，结合已恬知条件能求出|OA|²+|OB|²的值．

解答解：（1）∵椭圆$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\;（a＞b＞0）$的离心率为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
∴由题意知e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，∴e2=$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}=\frac{\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}}{{a}^{2}}$=$\frac{3}{4}$，
整理，得a²=4b²，∴a=2b，
又∵以坐标原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线$x-y+\sqrt{2}=0$相切，
∴b=$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{1+1}}$=1，∴a=2，
故椭圆C的方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1．
（2）设直线l的方程为y=kx+m，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由直线l的方程代入椭圆方程，消去y得：（1+4k²）x²+8kmx+4m²-4=0，
∴x₁+x₂=-$\frac{8km}{1+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{4{m}^{2}-4}{1+4{k}^{2}}$，且△=16（1+4k²-m²）＞0，
∵k₁、k、k₂恰好构成等比数列．
∴k²=k₁k₂=$\frac{（k{x}_{1}+m）（k{x}_{2}+m）}{{x}_{1}{x}_{2}}$，
∴-4k²m²+m²=0，
∴k=±$\frac{1}{2}$，
此时△=16（2-m²）＞0，即m∈（-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$），
∴x₁+x₂=±2m，x₁x₂=2m²-2
∴|OA|²+|OB|²=${{x}_{1}}^{2}+{{y}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}+{{y}_{2}}^{2}$=$\frac{3}{4}$[（x₁+x₂）²-2x₁x₂]+2=5，
∴|OA|²+|OB|²是定值为5．

点评本题考查椭圆方程的求法，考查代数和为定值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意韦达定理、根的判别式、等比数列、椭圆性质的合理运用．

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