题目内容
1．
已知椭圆$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\;（a＞b＞0）$的离心率为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，且以坐标原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线$x-y+\sqrt{2}=0$相切．（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若一条不过原点的直线l与椭圆相交于A，B两点，设直线OA，l，OB的斜率分别为k1，k，k2，且k1，k，k2恰好构成等比数列．求|OA|2+|OB|2的值．
分析 （1）由椭圆的离心率为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，以坐标原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线$x-y+\sqrt{2}=0$相切，求出a，b，由此能求出椭圆C的方程．
（2）设直线l的方程为y=kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2），代入椭圆方程，得（1+4k2）x2+8kmx+4m2-4=0，由此利用韦达定理、根的判别式、等比数列、椭圆性质，结合已恬知条件能求出|OA|2+|OB|2的值．
解答 解：（1）∵椭圆$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\;（a＞b＞0）$的离心率为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
∴由题意知e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，∴e2=$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}=\frac{\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}}{{a}^{2}}$=$\frac{3}{4}$，
整理，得a2=4b2，∴a=2b，
又∵以坐标原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线$x-y+\sqrt{2}=0$相切，
∴b=$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{1+1}}$=1，∴a=2，
故椭圆C的方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1．
（2）设直线l的方程为y=kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2），
由直线l的方程代入椭圆方程，消去y得：（1+4k2）x2+8kmx+4m2-4=0，
∴x1+x2=-$\frac{8km}{1+4{k}^{2}}$，x1x2=$\frac{4{m}^{2}-4}{1+4{k}^{2}}$，且△=16（1+4k2-m2）＞0，
∵k1、k、k2恰好构成等比数列．
∴k2=k1k2=$\frac{（k{x}_{1}+m）（k{x}_{2}+m）}{{x}_{1}{x}_{2}}$，
∴-4k2m2+m2=0，
∴k=±$\frac{1}{2}$，
此时△=16（2-m2）＞0，即m∈（-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$），
∴x1+x2=±2m，x1x2=2m2-2
∴|OA|2+|OB|2=${{x}_{1}}^{2}+{{y}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}+{{y}_{2}}^{2}$=$\frac{3}{4}$[（x1+x2）2-2x1x2]+2=5，
∴|OA|2+|OB|2是定值为5．
点评 本题考查椭圆方程的求法，考查代数和为定值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意韦达定理、根的判别式、等比数列、椭圆性质的合理运用．
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如图，A（-2，0），B（2，0），第一象限内点C满足∠ACB=60°，且△ABC的面积为$\sqrt{3}$．双曲线Г以A、B为焦点，经过点C．| A． | 8＜$\frac{f（2）}{f（1）}$＜16 | B． | 4＜$\frac{f（2）}{f（1）}$＜8 | C． | 3＜$\frac{f（2）}{f（1）}$＜4 | D． | 2＜$\frac{f（2）}{f（1）}$＜3 |
设椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为A，过点A与AF2垂直的直线交x轴负半轴于点Q，且F1恰是QF2的中点．若过A、Q、F2三点的圆恰好与直线l：x-$\sqrt{3}$y-3=0相切．