Question

16．设函数f（x）=sinxcosx-sin²（x-$\frac{π}{4}$）．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求函数f（x-$\frac{π}{6}$）在[0，$\frac{π}{2}$]上的最大值与最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由三角恒等变换化简f（x），得到最小正周期．
（Ⅱ）得到f（x-$\frac{π}{6}$）后可以由x的范围得到f（x-$\frac{π}{6}$）的值域，由此得到最大最小值．

解答 解：（Ⅰ）∵f（x）=sinxcosx-sin²（x-$\frac{π}{4}$）=sin2x-$\frac{1}{2}$，
∴函数f（x）的最小正周期T=π；
（2）由（1）得f（x-$\frac{π}{6}$）=sin（2x-$\frac{π}{3}$）-$\frac{1}{2}$，
∵x∈[0，$\frac{π}{2}$]，
∴-$\frac{π}{3}$≤2x-$\frac{π}{3}$≤$\frac{2π}{3}$，
∴sin（2x-$\frac{π}{3}$）∈[-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1]，
∴f（x-$\frac{π}{6}$）∈[-$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$，$\frac{1}{2}$]，
∴f（x-$\frac{π}{6}$）在[0，$\frac{π}{2}$]上的最大值是$\frac{1}{2}$，
最小值是-$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$．

点评 本题考查由三角恒等变换以及由x的范围得到f（x-$\frac{π}{6}$）的值域．