Question

11．设函数f（x）=lnx+ax²+bx．（a，b∈R）．
（1）曲线y=f（x）上一点A（1，2），若在点A处的切线与直线2x-y-10=0平行，求a，b的值；
（2）设函数y=f（x）的导函数为y=f′（x），若f′（2）=$\frac{1}{2}$，且函数y=f（x）在（0，+∞）是单调函数，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）先由所给函数的表达式，求导数fˊ（x），再根据导数的几何意义求出切线的斜率，最后由平行直线的斜率相等方程求a，b的值即可；
（2）由f′（2）=$\frac{1}{2}$，得到f′（x）=$\frac{2a{x}^{2}-4ax+1}{x}$，再分函数y=f（x）在（0，+∞）是单调增函数或单调减函数，根据二次函数的性质即可求出a的范围．

解答 解：（1）∵f（x）=lnx+ax²+bx，
∴f′（x）=$\frac{1}{x}$+2ax+b，
∵f（x）上一点A（1，2），若在点A处的切线与直线2x-y-10=0平行，
∴f'（1）=$\frac{1}{1}$+2a+b=2，即2a+b=1，
∴f（1）=ln1+a+b=2，
解得a=-1，b=3，
（2）由（1）知f′（x）=$\frac{1}{x}$+2ax+b，f′（2）=$\frac{1}{2}$，
∴f′（2）=$\frac{1}{2}$+4a+b=$\frac{1}{2}$，即4a+b=0，
∴f′（x）=$\frac{1}{x}$+2ax-4a=$\frac{2a{x}^{2}-4ax+1}{x}$
①当函数y=f（x）在（0，+∞）是单调增函数时，即f′（x）=$\frac{2a{x}^{2}-4ax+1}{x}$≥0恒成立，
∴2ax²-4ax+1≥0恒成立，其对称轴为x=2，
当a=0时，满足题意，
当a≠0时，则$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{△=16{a}^{2}-8a≤0}\end{array}\right.$，解得0＜a≤$\frac{1}{2}$，
②当函数y=f（x）在（0，+∞）是单调减函数时，即f′（x）=$\frac{2a{x}^{2}-4ax+1}{x}$≤0恒成立，
∴2ax²-4ax+1≤0恒成立，其对称轴为x=2，
当a=0时，不满足题意，
当a≠0时，则$\left\{\begin{array}{l}{a＜0}\\{△=16{a}^{2}-8a≤0}\end{array}\right.$，无解，
综上所述a的取值为[0，$\frac{1}{2}$]．

点评 本题考查了函数的单调性与导数的几何意义，考查导数的应用，考查函数恒成立问题，属于中档题