Question

6．函数y=4sin（2x+$\frac{π}{6}$）（0≤x≤$\frac{7π}{6}$）取到最小值时x值为$\frac{2π}{3}$；其图象与一条平行于x轴的直线y=m有三个交点，则实数m取值范围为[2，4）．

Answer 1

分析 根据正弦函数的定义域和值域，求得函数取得最小值时x值；令z=2x+$\frac{π}{6}$，则z∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{2}$]，根据题意可得函数y=4sinz的图象与一条平行于x轴的直线y=m有三个交点，数形结合可得m的范围．

解答 解：对于函数y=4sin（2x+$\frac{π}{6}$）（0≤x≤$\frac{7π}{6}$），它的最小值为-4，此时，2x+$\frac{π}{6}$=2kπ-$\frac{π}{2}$，
即 x=kπ-$\frac{π}{3}$，k∈Z．
再结合0≤x≤$\frac{7π}{6}$，可得x=$\frac{2π}{3}$．
由0≤x≤$\frac{7π}{6}$，可得2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{2}$]，令z=2x+$\frac{π}{6}$，则z∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{2}$]，
根据函数y=4sin（2x+$\frac{π}{6}$）的图象与一条平行于x轴的直线y=m有三个交点，
可得y=sinz的图象与一条平行于x轴的直线y=m有三个交点，如图所示：
故2≤m≤4，
故答案为：$\frac{2π}{3}$；[2，4）．

点评 本题主要考查正弦函数的定义域和值域，方程根的存在性以及个数判断，体现了数形结合的数学思想，属于中档题．