Question

利用归纳推理推断，当n是自然数时，

1

8

（n²-1）[1-（-1）ⁿ]的值（　　）

• A、一定是零
• B、不一定是整数
• C、一定是偶数
• D、是整数但不一定是偶数

Answer 1

考点：归纳推理

专题：推理和证明

分析：分别令n=0，1，2，3，4，5，得到结果为偶数，然后分别求出n为偶数和奇数时的结果，问题得以解决．

解答： 解：当n=0时，

1

8

(n2-1)(1-(-1)n)=

1

8

(02-1)(1-(-1)0)=0，偶数
当n=1时，

1

8

(n2-1)(1-(-1)n)=

1

8

(12-1)(1-(-1)1)=0，偶数
当n=2时，

1

8

(n2-1)(1-(-1)2)=

1

8

(22-1)(1-(-1)2)=0，偶数
当n=3时，

1

8

(n2-1)(1-(-1)n)=

1

8

(32-1)(1-(-1)3)=2，偶数
当n=4时，

1

8

(n2-1)(1-(-1)n)=

1

8

(42-1)(1-(-1)4)=0，偶数
当n=5时，

1

8

(n2-1)(1-(-1)n)=

1

8

(52-1)(1-(-1)5)=6，偶数
当n=2k-1，k∈N时，

1

8

(n2-1)(1-(-1)n)=

1

8

((2k-1)2-1)(1-(-1)2k-1)=

1

8

(4k2-4k)×2=k2-k=k(k-1)
因k∈N，所以k，（k-1）中一必有一个是偶数，k（k-1）必为偶数．
当n=2k时，

1

8

(n2-1)(1-(-1)n)=

1

8

((2k)2-1)(1-(-1)2k)=

1

8

(4k2-4k)×2=0，偶数
由此猜想

1

8

(n2-1)(1-(-1)n)必为偶数．
故选：C

点评：本题考查学生的归纳推理能力，由特殊到一般是常用归纳方法，属于基础题．