Question

7．设二次函数f（x）=ax²+bx+c（a≠0）的导数为f'（x），f'（0）＞0，若?x∈R，恒有f（x）≥0，则$\frac{f（1）}{f'（0）}$的最小值是2．

Answer 1

分析 先根据题目的条件建立关于a、b、c的关系式，再结合基本不等式求出最小即可，注意等号成立的条件．

解答 解：∵f（x）=ax²+bx+c
∴f′（x）=2ax+b，f′（0）=b＞0
∵对任意实数x都有f（x）≥0
∴a＞0，c＞0，b²-4ac≤0即 $\frac{4ac}{{b}^{2}}$≥1
则 $\frac{f（1）}{f′（0）}$=$\frac{a+b+c}{b}$=1+$\frac{a+c}{b}$，
而（$\frac{a+c}{b}$）²=$\frac{{a}^{2}{+c}^{2}+2ac}{{b}^{2}}$≥$\frac{4ac}{{b}^{2}}$≥1，
∴$\frac{f（1）}{f′（0）}$=$\frac{a+b+c}{b}$=1+$\frac{a+c}{b}$≥2，
故答案为：2．

点评 本题主要考查了导数的运算，以及函数的最值及其几何意义和不等式的应用，属于中档题．