Question

18．已知函数f（x）=alnx+x²（a∈R）．
（1）当a=-4时，求函数f（x）在[1，e]上的最大值及相应的x值；
（2）当x∈（1，e）时，f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求导，分析函数的单调性，进而可得$f{（x）_{max}}=f（e）={e^2}-4$，当x=e时，取等号
（2）当x∈（1，e）时，f（x）≥0恒成立，等价于a≥-$\frac{{x}^{2}}{lnx}$，设g（x）=$-\frac{x^2}{lnx}$，x∈（1，e），利用导数法，求其最值，进而可得实数a的取值范围．

解答 解：（1）∵f（x）=alnx+x²，
∴$f'（x）=\frac{{2{x^2}-4}}{x}（x＞0）$，
当$x∈[1，\sqrt{2}）$时，f′（x）＜0；
当$x∈（{\sqrt{2}，e}]$时，f'（x）＞0，
又f（e）-f（1）=-4+e²-1＞0，
故$f{（x）_{max}}=f（e）={e^2}-4$，当x=e时，取等号；
（2）当x∈（1，e）时，lnx∈（0，1），
f（x）≥0恒成立，等价于a≥-$\frac{{x}^{2}}{lnx}$，
设g（x）=$-\frac{x^2}{lnx}$，x∈（1，e），
则$g'（x）=-\frac{{2xlnx-{x^2}\frac{1}{x}}}{{{{ln}^2}x}}=-\frac{x（2lnx-1）}{{{{ln}^2}x}}$，
当$x∈（{1，\sqrt{e}}）$时，g'（x）＞0，函数g（x）递增，
当$x∈（\sqrt{e}，e）$时，g'（x）＜0，函数g（x）递减．
又$g（\sqrt{e}）=-2e$，
所以a≥-2e时，f（x）≥0恒成立．

点评 本题考查的知识点是利用导数法，求函数的最值，函数恒成立问题，难度中档．