Question

14．已知函数f（x）=sin（x+$\frac{π}{6}$）+sin（x-$\frac{π}{6}$）+acosx+b，（a，b∈R）且均为常数）．
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）若f（x）在区间[-$\frac{π}{3}$，0]上单调递增，且恰好能够取到f（x）的最小值2，试求a，b的值．

Answer 1

分析 （1）利用和差化积公式和辅助角公式将已知函数关系式转化为正弦函数，然后由正弦函数的性质求其最小正周期；
（2）根据正弦函数图象的单调性和正弦函数的最值的求法进行解答．

解答 解：（1）f（x）=sin（x+$\frac{π}{6}$）+sin（x-$\frac{π}{6}$）+acosx+b
=2sinxcos$\frac{π}{6}$+acosx+b=$\sqrt{3}$sinx+acosx+b=$\sqrt{{a}^{2}+3}$sin（x+θ）+b，
所以，函数f（x）的最小正周期为2π．
（2）由（1）可知：f（x）的最小值为-$\sqrt{{a}^{2}+3}$+b，所以，-$\sqrt{{a}^{2}+3}$+b=2．①
另外，由f（x）在区间[-$\frac{π}{3}$，0]上单调递增，可知f（x）在区间[-$\frac{π}{3}$，0]上的最小值为f（-$\frac{π}{3}$），
所以，f（-$\frac{π}{3}$）=2，得a+2b=7，②
联立①②解得a=-1，b=4．

点评 本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．