Question

6．已知函数f（x）=|2x+a|+|2x-b|（a＞0，b＞0）．
（Ⅰ）若a=1，b=2，求不等式f（x）＞5的解集；
（Ⅱ）若f（x）的最小值为1，求$\frac{b}{a^2}+\frac{a}{b^2}$的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通过对x取值范围的讨论，去掉绝对值符号，解相应的一次不等式，最后取并集即可求得不等式f（x）＞5的解集；
（Ⅱ）利用绝对值不等式的几何意义，可得f（x）_min=a+b=1，从而利用基本不等式可求$\frac{b}{a^2}+\frac{a}{b^2}$的最小值．

解答 解：（Ⅰ）f（x）＞5?|2x+1|+|2x-2|＞5
$?\left\{\begin{array}{l}2x＜-1\\-4x+1＞5\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}-1≤2x≤2\\ 2x+1-（2x-2）＞5\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}2x＞2\\ 4x-1＞5\end{array}\right.$…（3分）
?x＜-1，或$x＞\frac{3}{2}$…（5分）
所以不等式f（x）＞5的解集为{x|x＜-1，或$x＞\frac{3}{2}\}$…（6分）
（Ⅱ）∵a＞0，b＞0，
∴f（x）=|2x+a|+|2x-b|≥|（2x+a）-（2x-b）|=|a+b|=a+b
当且仅当$-\frac{a}{2}≤x≤\frac{b}{2}$时取等号∴f（x）的最小值为a+b，从而a+b=1…（8分）
∴$\frac{b}{a^2}+\frac{a}{b^2}=（\frac{b}{a^2}+\frac{a}{b^2}）（a+b）=\frac{b^2}{a^2}+\frac{a^2}{b^2}+\frac{b}{a}+\frac{a}{b}≥2+2=4$…（10分）
当且仅当$a=b=\frac{1}{2}$时取等号∴$\frac{b}{a^2}+\frac{a}{b^2}$的最小值为4…（12分）

点评 本题考查绝对值不等式的解法，对x取值范围分类讨论，去掉绝对值符号是解不等式的关键，考查绝对值不等式的几何意义及应用，属于中档题．