Question

判断函数f（x）=

ax

x+1

在（-1，+∞）上的单调性，并证明．

Answer 1

考点：函数单调性的判断与证明

专题：函数的性质及应用

分析：设-1＜x₁＜x₂，求出f（x₁）-f（x₂）的表达式，通过讨论a的范围，从而得出函数的单调区间．

解答： 证明：设-1＜x₁＜x₂，则f（x₁）-f（x₂）=

ax1

x1+1

-

ax2

x2+1

=

ax1(x2+1)-ax2(x1+1)

(x1+1)(x2+1)

=

a(x1-x2)

(x1+1)(x2+1)

∵-1＜x₁＜x₂，
∴x₁-x₂＜0，x₁+1＞0，x₂+1＞0．
∴当a＞0时，f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
∴函数y=f（x）在（-1，+∞）上单调递增．
同理当a＜0时，f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（ x₁）＞f（x₂），
∴函数y=f（x）在（-1，+∞）上单调递减．

点评：本题考查了函数的单调性的证明，考查了分类讨论思想，是一道中档题．