Question

如图，已知ABCD－A₁B₁C₁D₁是棱长为a的正方体，E、F分别为棱AA₁与CC₁的中点，求四棱锥的A₁－EBFD₁的体积.

 

Answer 1

答案：
解析：

法一：∵ EB=BF=FD1=D1E==a， ∴ 四棱锥A1－EBFD1的底面是菱形. 连结A1C1、EF、BD1，则A1C1∥EF. 根据直线和平面平行的判定定理，A1C1平行于 A1－EBFD1的底面，从而A1C1到底面EBFD1的距离就是A1－EBFD1的高 设G、H分别是A1C1、EF的中点，连结D1G、GH，则 FH⊥HG， FH⊥HD1 根据直线和平面垂直的判定定理，有 FH⊥平面HGD1， 又，四棱锥A1－EBFD1的底面过FH，根据两平面垂直的判定定理，有 A1－EBFD1的底面⊥平面HGD1. 作GK⊥HD1于K，根据两平面垂直的性质定理，有 GK垂直于A1－EBFD1的底面. ∵ 正方体的对角面AA1CC1垂直于底面A1B1C1D1,∴ ∠HGD1=90º. 在Rt△HGD1内，GD1=a，HG=a，HD1==a. ∴ a·GK=a·a，从而GK=a. ∴ =·GK =··EF·BD1·GK =·a·a·a=a3 解法二 ∵ EB=BF=FD1=D1E==a， ∴ 四菱锥A1－EBFD1的底面是菱形. 连结EF，则△EFB≌△EFD1. ∵ 三棱锥A1－EFB与三棱锥A1－EFD1等底同高， ∴ . ∴ . 又 ， ∴ ， ∵ CC1∥平面ABB1A1， ∴ 三棱锥F－EBA1的高就是CC1到平面ABB1A1的距离，即棱长a. 又 △EBA1边EA1上的高为a. ∴ =2···a=a3.