题目内容

如图,已知ABCD是正方形,DE⊥平面ABCD,BF⊥平面ABCD,且AB=FB=2DE.
(Ⅰ)求证:平面AEC⊥平面AFC;
(Ⅱ)求直线EC与平面BCF所成的角;
(Ⅲ)问在EF上是否存在一点M,使三棱锥M-ACF是正三棱锥?若存在,试确定M点的位置;若不存在,说明理由.
分析:(I)以D为坐标原点,DA,DC,DE分别为X,Y,Z轴正言论自由建立空间直角坐标系,分别求出各点坐标,进而求出平面AEC和平面AFC的法向量的坐标,代入向量夹角公式,根据两个法向量的数量积为0,即可得到平面AEC⊥平面AFC;
(II)求出直线EC的方向向量及平面BCF的法向量,代入向量夹角公式,即可得到直线EC与平面BCF所成的角;
(Ⅲ)在EF上存在满足FM=2ME一点M,使M-ACF是正三棱锥,由已知可得ACF是一个正三角形,只须M在平面ACF上的投影,为三角形ACF的中心即可.
解答:证明:(I)建立如图坐标系,令AB=FB=2DE=2
∴D(0,0,0),E(0,0,1),A(2,0,0),C(0,2,0),F(2,2,2)
AE
=(-2,0,1),
EC
=(0,2,-1)
AF
=(0,2,2),
FC
=(-2,0,-2)

m
为面AEC法向量 
m
=(x1y1z1)

-2x1+z1=0
2y1-z1=0
m
=(1,1,2)

n
为面AFC法向量 
n
=(x2y2z2)

2y2+2z2=0
-2x2-2z2=0
n
=(1,1,-1)

cos<
m
n
>=
1+1-2
4
3
=0

m
n

∴面AEC⊥面AFC.
(Ⅱ)∵
EC
=(0,2,-1)
FC
=(-2,0,-2)
FB
=(0,0,-2)

设平面FBC的法向量为
v
=(a,b,c)
v
FC
,且
v
FB

-2a-2c=0
-2c=0
,令b=1
v
=(0,1,0)
设直线EC与平面BCF所成的角为θ
则sinθ=
|
v
EC
|
|
v
|•|
EC
|
=
2
5
=
2
5
5

即直线EC与平面BCF所成的角为arcsin
2
5
5

(Ⅲ)在EF上存在满足FM=2ME一点M,使M-ACF是正三棱锥
作法:题意知△ACF是正三角形,
顶点M在ACF上的射影是△ACF的中心N
正方形的中心(即AC与BD的交点)为O,
则点N一定在OF上,且FN=2ON,
在平面EOF中过N作NM∥OE交EF于点M,
则该点为所求
点评:本题考查的知识点是平面与平面垂直的判定,棱锥的结构特征,直线与平面所成的角,其中建立空间坐标系,将直线与平面的关系转化为向量的夹角问题,是解答本题的关键.
练习册系列答案
相关题目

违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com

精英家教网