Question

【题目】已知函数．

（1）若函数有两个零点，证明：；

（2）设函数的两个零点为，．证明：．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析

【解析】

（1）参变分离可得，构造函数，判断的单调性及图象特征，使与直线有两个交点，即满足题意，从而可证明结论；

（2）易知，，两式相减得，要证，即证，进而可将问题转化为证明，令，则，即证，进而构造函数，只需证明即可.

（1）证明：由，可得，

令，则，

当时，，单调递增；

当时，，单调递减；

所以．

又因为当时，；

当时，，且当时，；

所以有两个零点时，．

（2）由题意知，，，

两式相减得：，

则．

要证，即证，

只需证，

即证.

令，则，即证，

令，则，令，则，

所以在上单调递增，，即，

所以在上单调递增，

所以，即，

所以，

故成立.