Question

四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面ABCD为矩形，AB=1，AD=2，AA₁=3，∠A₁AB=∠A₁AD=60°，则AC₁的长为（ ）
A．
B．23
C．
D．32

Answer 1

【答案】分析：记A₁在面ABCD内的射影为O，O在∠BAD的平分线上，说明∠BAD的平分线即菱形ABCD的对角线AC，求AC₁的长．
解答：解：记A₁在面ABCD内的射影为O，
∵∠A₁AB=∠A₁AD，
∴O在∠BAD的平分线上，
由O向AB，AD两边作垂线，垂足分别为E，F，连接A₁E，A₁F，A₁E，A₁F分别垂直AB，AD于E，F
∵AA₁=3，∠A₁AB=∠A₁AD=60°，
∴AE=AF=
又四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面ABCD为矩形
∴∠OAF=∠OAE=45°，且OE=OF=，可得OA=
在直角三角形A₁OA中，由勾股定理得A₁O=
过C₁作C₁M垂直底面于M，则有△C₁MC≌△A₁OA，由此可得M到直线AD的距离是，M到直线AB的距离是，C₁M=A₁O=
所以AC₁ ==
故选C．
点评：本题考查棱柱的结构特征等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力．解题关键在于，正确解三角形．