Question

给定双曲线x²-

y2

2

=1．过A（2，1）的直线与双曲线交于两点P₁及P₂，求线段P₁P₂的中点P的轨迹方程．

Answer 1

考点：轨迹方程

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（x，y），则2x₁²-y₁²=2，2x₂²-y₂²=2，两式相减，利用M是中点及斜率相等可求P得轨迹方程，从而得到其轨迹．

解答： 解：设P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），P（x，y），则x₁+x₂=2x，y₁+y₂=2y，
∵2x₁²-y₁²=2，2x₂²-y₂²=2，
∴4x（x₁-x₂）-2y（y₁-y₂）=0，
∴k_AB=

y1-y2

x1-x2

=

2x

y

，
∵k_AP=

y-1

x-2

，
∴

2x

y

=

y-1

x-2

，
∴2x²-y²-4x+y=0，
即线段P₁P₂的中点P的轨迹方程是2x²-y²-4x+y=0．

点评：本题主要考查中点弦问题，设而不求是常用方法，应注意细细体会．