Question

12．如图，直角梯形ABCD与等腰直角三角形ABE所在的平面互相垂直，AB∥CD，AB⊥BC，AB=2CD=2BC=2，EA⊥EB，点F满足$\overrightarrow{AF}$=2$\overrightarrow{FE}$．
（1）求证：直线EC∥平面BDF；
（2）求二面角D-BF-A的余弦值．

Answer 1

分析 （1）连结AC，交BD于G，推导出EC∥FG，由此能证明直线EC∥平面BDF．
（2）设AB的中点为O以OD，OA，OE分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角D-BF-A的余弦值．

解答 证明：（1）连结AC，交BD于G，
∵AB∥CD，∴$\frac{CG}{GA}=\frac{CD}{AB}=\frac{1}{2}=\frac{EF}{FA}$，
∴EC∥FG，又EC?平面BDF，FG?平面BDF，
∴直线EC∥平面BDF．
解：（2）设AB的中点为O，∵△ABE是等腰三角形，
∴EO⊥AB，又平面EAB⊥平面ABCD，
∴EO⊥平面ABCD，连结OD，
则OB∥DC，且OB=DC，
∴OD∥BC，∴OD⊥AB，
如图，以OD，OA，OE分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，
则A（0，1，0），B（0，-1，0），C（1，-1，0），D（1，0，0），E（0，0，1），
平面BFA的法向量$\overrightarrow{OD}$=（1，0，0），
设平面BFD的法向量是$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BD}=x+y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{GF}=-x+y+z=0}\end{array}\right.$，
令x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，-1，2），
cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{OD}$＞=$\frac{1}{1×\sqrt{1+1+4}}$=$\frac{\sqrt{6}}{6}$，
∴二面角D-BF-A的余弦值为$\frac{\sqrt{6}}{6}$．

点评 本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．