Question

2．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（\frac{1}{2}）^{x}，x≤1}\\{lo{g}_{2}（x-1），x＞1}\end{array}\right.$，则f（x）≤$\frac{1}{2}$的解集为{1}∪（1，1+$\sqrt{2}$]．

Answer 1

分析 根据分段函数的表达式，讨论x≤1或x＞1时，分别解不等式即可．

解答 解：若x≤1，由f（x）≤$\frac{1}{2}$得（$\frac{1}{2}$）^x≤$\frac{1}{2}$，则x≥1，此时x=1，
若x＞1，由f（x）≤$\frac{1}{2}$的log₂（x-1）≤$\frac{1}{2}$，即0＜x-1＞${2}^{\frac{1}{2}}$=$\sqrt{2}$，
即1＜x≤1+$\sqrt{2}$，
即不等式的解集为{1}∪（1，1+$\sqrt{2}$]，
故答案为：{1}∪（1，1+$\sqrt{2}$]

点评 本题主要考查不等式的求解，根据分段函数的表达式，利用分类讨论的思想进行求解即可．