题目内容
17．已知抛物线y=x2-7上存在关于直线x+y=0对称的相异两点A、B，则|AB|等于（ ）| A． | 5 | B． | $5\sqrt{2}$ | C． | 6 | D． | $6\sqrt{2}$ |
分析 先设出直线AB的方程，代入抛物线方程消去y，根据韦达定理求得x1+x2的值，由中点坐标公式求得AB中点M的坐标，代入直线x+y=0中求得b，进而由弦长公式求得|AB|．
解答 解：由题意可得，可设AB的方程为 y=x+b，
代入抛物线y=x2-7化简可得 x2 -x-b-7=0，
∴x1+x2=1，x1•x2=-b-7，
y1+y2=x12-7+x22-7=（x1+x2）2-2x1•x2-14=1+2b+14-14=1+2b，
故AB 的中点为M（$\frac{1}{2}$，b+$\frac{1}{2}$），
由点M在x+y=0上，即$\frac{1}{2}$+b+$\frac{1}{2}$=0，解得：b=-1，
∴x1•x2=-6，
∴由弦长公式可求出丨AB丨=$\sqrt{1+1}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{2}$•$\sqrt{1-4×（-6）}$=5$\sqrt{2}$，
故答案选：B．
点评 本题考查直线与抛物线的位置关系，一元二次方程根与系数的关系，弦长公式的应用，考查了学生综合分析问题和解决问题的能力，属于中档题．
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| A． | （2，+∞） | B． | （-∞，-2）∪（2，+∞） | C． | （-1，2） | D． | （-∞，-1）∪（2，+∞） |